対角線の総数

これは誤解！

次の図の五角形ABCDEにおいて，

  • 頂点Aからひくことのできる対角線はAC，ADの2本

  • 頂点Bからひくことのできる対角線はBD，BEの2本

頂点C，D，Eについても同様に，対角線はそれぞれ2本ずつひくことができます。したがって，五角形ABCDEの対角線の総数は \[2\text{(本)}\times 5=\bbox[#f8d2eb,1px]{10\text{(本)}}\]

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上の数え方では，たとえば

  • 頂点Aから頂点Cにひいた対角線AC

  • 頂点Cから頂点Aにひいた対角線CA

を別々のものとして数えています。

しかし，この2つの対角線は同一のものですから，二重に数えていることになります。他の対角線についても二重に数えているので，対角線の総数は，正しくは \[\frac{2\text{(本)}\times 5}{2}＝\bbox[#f8d2eb,1px]{5\text{(本)}}\]

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要素の個数（上の例では対角線の総数）は，もれなく，重複なく数えます。

なお，$n$角形の対角線の総数は$\bbox[#f8d2eb,1px]{\dfrac{n(n-3)}{2}}$本です。