$(\sqrt{\,2\,}+\sqrt{\,3\,})^2$と$(\sqrt{\,5\,})^2$の値を比較します。 \[(\sqrt{\,2\,}+\sqrt{\,3\,})^2=(\sqrt{\,2\,})^2+2\times \sqrt{\,2\,}\times \sqrt{\,3\,}+(\sqrt{\,3\,})^2=5+\bbox[#f8d2eb,1px]{2\sqrt{\,6\,}}\] \[(\sqrt{\,5\,})^2=5\] であるから， \[(\sqrt{\,2\,}+\sqrt{\,3\,})^2>(\sqrt{\,5\,})^2\] となります。$\sqrt{\,2\,}+\sqrt{\,3\,}$と$\sqrt{\,5\,}$はともに正の数であるから， \[\sqrt{\,2\,}+\sqrt{\,3\,}>\sqrt{\,5\,}\] したがって，「$\sqrt{\,2\,}+\sqrt{\,3\,}=\sqrt{\,5\,}$」は成り立ちません。

平方根$\sqrt{\,a\,},\;\sqrt{\,b\,}$（$a,\;b$は正の数）において，次の乗法・除法の計算はつねに成り立ちます。 \[\sqrt{\,a\,}\times \sqrt{\,b\,}=\sqrt{a\times b}\quad \text{（○）}\] \[\frac{\sqrt{\,a\,}}{\sqrt{\,b\,}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\quad \text{（○）}\]

これに対し，次の加法・減法の計算は一般に成り立ちません。 \[\sqrt{\,a\,}+\sqrt{\,b\,}=\sqrt{a+b}\quad \text{（×）}\] \[\sqrt{\,a\,}-\sqrt{\,b\,}=\sqrt{a-b}\quad \text{（×）}\]