反応速度と温度の関係(アレニウスの式)について,入試実例(2022年名城大学)を解きながら解説する。
グレーバックの部分が入試からの引用で,今回のテーマと関係のない部分を一部割愛している。なお,解答・解説は浜島書店が作成したものである。
(前段省略)
化学反応の反応速度定数 k は,温度などの反応条件が一定であれば一定であるが,温度の上昇とともに増加する。アレニウスはいくつかの反応で反応速度定数が次の式(Ⅱ)で表されることを示した。 \begin{align} k=A\cdot e^{-\frac{E_\mathrm{a}}{RT}}\tag{Ⅱ} \end{align} ここで,A は頻度因子とよばれる定数,e は自然対数の底,E_\mathrm{a}\text{〔}\mathrm{J/mol}\text{〕} は活性化エネルギー,T\text{〔}\mathrm{K}\text{〕} は絶対温度,R\text{〔}\mathrm{J/(K\cdot mol)}\text{〕}は気体定数である。
上記で示した式(Ⅱ)の両辺の自然対数をとると,以下の式(Ⅲ)が得られる。 \begin{align} \log_e k=-\frac{\text{( ② )}}{\text{( ③ )}}+\log_e A\tag{Ⅲ} \end{align}
次に,\log_e x=2.3\log_{10}x の関係を利用して常用対数に変換し,\dfrac{1}{2.3}\log_e A=Cとおくと,次の式(Ⅳ)となる。 \begin{align} \log_{10} k=-\frac{1}{2.3}\times \frac{\text{( ② )}}{\text{( ③ )}}+C\tag{Ⅳ} \end{align}
式(Ⅳ)が成り立つ場合には,この式(Ⅳ)を利用して,異なる2つの温度 T で反応速度定数 k を求めることにより,活性化エネルギーの値を求めることができる。
問1 (省略)
問2 (省略)
問3 文中の( ② )および( ③ )に入る文字式として最も適切なものを,次のア〜カのうちからそれぞれ1つずつ選び,その記号を答えよ。
ア. E_\mathrm{a} イ. T ウ. R
エ. E_\mathrm{a}\cdot T オ. R\cdot E_\mathrm{a} カ. R\cdot T
\log_e ab=\log_e a + \log_e b,\log_e a^n=n\log_e a ,\log_e e=1 だから,
\begin{align*} \log_e k &= \log_e A\cdot e^{-\frac{E_\mathrm{a}}{RT}}\\ \log_e k &= \log_e A + \log_e e^{-\frac{E_\mathrm{a}}{RT}}\\ \log_e k &= \log_e A -\frac{E_\mathrm{a}}{RT}\log_e e\\ \log_e k &= -\frac{E_\mathrm{a}}{RT}+\log_e A \end{align*} となる。したがって,②は E_\mathrm{a},③は RT になる。
② ア ③ カ
問4 (省略)
問5 (省略)
問6 下線部について,ある反応の反応速度を測定したところ,反応温度を 27\,{}^\circ\!\mathrm{C} から 37\,{}^\circ\!\mathrm{C} に上げると反応速度は2倍になることがわかった。この反応の活性化エネルギー E_\mathrm{a}\text{〔}\mathrm{kJ/mol}\text{〕} の値を有効数字2桁で答えよ。ただし,気体定数 R=8.3\,\mathrm{J/(K\cdot mol)},\log_{10} 2=0.30 とする。
反応速度が2倍になることから,27\,{}^\circ\!\mathrm{C} のときの反応速度定数が k なら,37\,{}^\circ\!\mathrm{C} のときの反応速度定数は 2k になる。これらを式(Ⅳ)に代入すると, \begin{align} \log_{10}k &= -\frac{1}{2.3}\times \frac{E_\mathrm{a}}{R\times (273+27)\,\mathrm{K}}+C\\ \log_{10}2k &= -\frac{1}{2.3}\times \frac{E_\mathrm{a}}{R\times (273+37)\,\mathrm{K}}+C\\ \end{align} \text{式}(2)-\text{式}(1) から, \begin{align*} \log_{10}2k-\log_{10}k &= \left(-\frac{1}{310\,\mathrm{K}}+\frac{1}{300\,\mathrm{K}}\right)\times \frac{E_\mathrm{a}}{2.3R}\\ \log_{10}2 &= \frac{310-300}{310\times 300}\,\mathrm{/K}\times \frac{E_\mathrm{a}}{2.3R}\\ E_\mathrm{a} &= \log_{10}2 \times \frac{310\times 300}{310-300}\,\mathrm{K}\times 2.3\times 8.3\,\mathrm{J/(K\cdot mol)}\\ &\fallingdotseq 5.3\times 10^4\,\mathrm{J/mol}=53\,\mathrm{kJ/mol} \end{align*}
\bm{53}\,\mathbf{kJ/mol}