酵素反応の速度と阻害物質の作用

目次

• 生成物の生成速度式
  • ミカエリス・メンテンの式
  • 基質濃度と生成速度
  • ミカエリス・メンテンの式の変形
• 阻害物質の影響
  • 競争的阻害
  • 混合した阻害

生成物の生成速度式

ミカエリス・メンテンの式

酵素（enzyme） \mathsf{E} は，その活性部位に基質（substrate） \mathsf{S} を結合させて，酵素-基質複合体 \mathsf{ES} をつくった後，生成物（product） \mathsf{P} と酵素 \mathsf{E} に分かれる。また，酵素-基質複合体 \mathsf{ES} は，酵素 \mathsf{E} と基質 \mathsf{S} に解離する逆反応も起こっている。この反応をまとめると，次のようになる。

　　

k_1，k_2 ，k_3 は各反応の反応速度定数で，反応速度式は，それぞれ次のようになる。

\begin{align} & \mathsf{ES}\text{の生成速度 }&&v_1=k_1\mathsf{[E]}\mathsf{[S]}\\ & \mathsf{ES}\text{の分解速度}&&v_2=k_2\mathsf{[ES]}\\ & \mathsf{P}\text{の生成速度}&&v=k_3\mathsf{[ES]} \end{align}

ただし， \mathsf{E}，\mathsf{S} ，\mathsf{ES}，\mathsf{P} の濃度を，それぞれ \mathsf{[E]}，\mathsf{[S]}，\mathsf{[ES]}，\mathsf{[P]} とした。また，生成物の生成速度に着目して，この速度を v とした。

\mathsf{ES} は，式 (1) の反応で生成，式 (2) と式 (3) の反応で分解，消費されるので， \begin{align} \mathsf{ES}\text{の正味の生成速度}=k_1\mathsf{[E]}\mathsf{[S]}-k_2\mathsf{[ES]}-k_3\mathsf{[ES]} \end{align} となる。

過剰の基質と酵素を混合すると，酵素-基質複合体の濃度は上昇して，すぐに一定の値（定常状態）になる。この定常状態では，\mathsf{ES} の正味の生成速度は 0 になるので，式 (4) から， \begin{align} k_1\mathsf{[E]}\mathsf{[S]}-k_2\mathsf{[ES]}-k_3\mathsf{[ES]}=0 \end{align} となる。これを \mathsf{[ES]} について解くと， \begin{align} \mathsf{[ES]}=\frac{k_1\mathsf{[E]}\mathsf{[S]}}{k_2+k_3}=\frac{\mathsf{[E]}\mathsf{[S]}}{\dfrac{k_2+k_3}{k_1}}=\frac{\mathsf{[E]}\mathsf{[S]}}{K_\mathrm{M}} \end{align} が得られる。ここで，\dfrac{k_2+k_3}{k_1}=K_\mathrm{M} とした。K_\mathrm{M} をミカエリス定数という。

\mathsf{[E]} は遊離している酵素の濃度，\mathsf{[ES]} は基質と結合している酵素の濃度を表しているので，酵素の全濃度を \mathsf{[E]_\mathrm{T}} とすると，\mathsf{[E]_\mathrm{T}}=\mathsf{[E]}+\mathsf{[ES]} となるので， \begin{align} \mathsf{[E]}=\mathsf{[E]_\mathrm{T}}-\mathsf{[ES]} \end{align} となる。式 (7) を式 (6) に代入すると， \mathsf{[ES]} = \frac{(\mathsf{[E]_\mathrm{T}}-\mathsf{[ES]})\mathsf{[S]}}{K_\mathrm{M}} となり，これを \mathsf{[ES]} について解くと， \begin{align} \mathsf{[ES]} = \frac{\mathsf{[E]_\mathrm{T}}\mathsf{[S]}}{\mathsf{[S]}+K_\mathrm{M}} \end{align} が得られる。式 (8) を式 (3) に代入すると，\mathsf{P} の生成速度 v を求めることができる。反応後すぐに定常状態になるので，この速度を反応の初速度 v_0 とすると，次のようになる。 \begin{align} v_0 = k_2\mathsf{[ES]} = \frac{k_2\mathsf{[E]_\mathrm{T}}\mathsf{[S]}}{\mathsf{[S]}+K_\mathrm{M}} \end{align}

基質が過剰にある（ \mathsf{[S]}\gg K_\mathrm{M} ）とき，\mathsf{[S]}+K_\mathrm{M}\fallingdotseq \mathsf{[S]}となり，このとき v_0 は最大になる。この値を V_\mathrm{max} とすると， \begin{align} V_\mathrm{max}=k_2\mathsf{[E]_\mathrm{T}} \end{align} となる。この式 (10) を式 (9) に代入すると，次の式が得られる。

この式 (11) をミカエリス・メンテンの式という。この式は，基質濃度 \mathsf{[S]} と反応の初速度 v_0 の関係を表す。

基質濃度と生成速度

図1のグラフには，次のような関係がある。 \begin{align*} & \mathsf{[S]}=K_\mathrm{M}\text{のとき} && v_0=\dfrac{V_\mathrm{max}\times K_\mathrm{M}}{K_\mathrm{M}+K_\mathrm{M}}=\dfrac{1}{2}V_\mathrm{max}\\ & \mathsf{[S]}=2K_\mathrm{M}\text{のとき} && v_0=\dfrac{V_\mathrm{max}\times 2K_\mathrm{M}}{K_\mathrm{M}+2K_\mathrm{M}}=\dfrac{2}{3}V_\mathrm{max}\\ & \mathsf{[S]}=3K_\mathrm{M}\text{のとき} && v_0=\dfrac{V_\mathrm{max}\times 3K_\mathrm{M}}{K_\mathrm{M}+3K_\mathrm{M}}=\dfrac{3}{4}V_\mathrm{max}\\ & \cdots \end{align*}

また，基質が少ない（ \mathsf{[S]}\ll K_\mathrm{M} ）とき，\mathsf{[S]}+K_\mathrm{M}\fallingdotseq K_\mathrm{M}となるので， \begin{align} v_0=\frac{V_\mathrm{max}}{K_\mathrm{M}}\mathsf{[S]} \end{align} となり，基質が少ない場合，生成の初速度 v_0 は，基質濃度 \mathsf{[S]} に比例するとみなせる。これは，上のグラフの \mathsf{[S]} が小さい部分（たとえば，ピンク色の部分）を，ほぼ直線とみなすことに相当する。

ミカエリス・メンテンの式の変形

ミカエリス・メンテンの式 (11) の両辺を逆数にすると， \begin{align} \frac{1}{v_0}=\frac{\mathsf{[S]}+K_\mathrm{M}}{V_\mathrm{max}\mathsf{[S]}}=\frac{K_\mathrm{M}}{V_\mathrm{max}}\cdot \frac{1}{\mathsf{[S]}}+\frac{1}{V_\mathrm{max}} \end{align} となる。式 (13) は，\dfrac{1}{v_0}\rightarrow y ，\dfrac{K_\mathrm{M}}{V_\mathrm{max}}\rightarrow a，\dfrac{ 1}{\mathsf{[S]}}\rightarrow x，\dfrac{1}{V_\mathrm{max}}\rightarrow b と対応させると，一次関数 {y=ax+b} になることがわかる。このように，逆数どうしをプロットする方法をラインウィーバー・バークのプロット（二重逆数プロット）という。

これをグラフに表すと，図2のようになる。

さまざまな基質濃度 \mathsf{[S]} における初速度 v_0 を実験で測定して，この直線の式を決めると，最大速度 V_\mathrm{max} やミカエリス定数 K_\mathrm{M} を求めることができる。

V_\mathrm{max} や K_\mathrm{M} が求まると，次のように定義される，酵素の触媒定数や触媒効率が得られる。

酵素の触媒定数 k_\mathrm{cat} は，次のように定義され，この値から酵素の活性を比較できる。 \begin{align} k_\mathrm{cat}=\dfrac{V_\mathrm{max}}{\mathsf{[E]_\mathrm{T}}}\qquad [E]_\mathrm{T}\text{は，酵素の全濃度} \end{align}

酵素の触媒効率 \eta は，次のように定義され，この値が大きいほど，酵素の効率は高い。 \begin{align} \eta =\dfrac{k_\mathrm{cat}}{K_\mathrm{M}} \end{align}

阻害物質の影響

酵素は，阻害物質によって，その働きが阻害されることがある。

競争的阻害

阻害物質（inhibitor） \mathsf{I} が，酵素 \mathsf{E} の活性部位に結合すると，基質 \mathsf{S} の結合が妨げられ，酵素の働きは低下する。このような阻害を競争的阻害という。

K_1 は，酵素と阻害物質が結合した複合体 \mathsf{EI} が分解するときの平衡定数で，次のようになる。 \begin{align} K_1=\frac{\mathsf{[E]}\mathsf{[\,I\,]}}{\mathsf{[EI]}}\qquad \text{よって，}\mathsf{[EI]}=\frac{\mathsf{[E]}\mathsf{[\,I\,]}}{K_1} \end{align}

酵素の全濃度は，式 (16) を利用して，次のように表すことができる。 \begin{align} \mathsf{[E]}_\mathrm{T} &= \mathsf{[E]}+\mathsf{[ES]}+\mathsf{[EI]}\notag\\ &= \mathsf{[E]}+\mathsf{[ES]}+\frac{\mathsf{[E]}\mathsf{[\,I\,]}}{K_1}\notag\\ &= \left(1+\frac{\mathsf{[\,I\,]}}{K_1}\right)\mathsf{[E]}+\mathsf{[ES]} \end{align} ここで， \begin{align} 1+\frac{\mathsf{[\,I\,]}}{K_1}=\alpha \end{align} とおき，式 (17) を \mathsf{[E]} について解くと， \begin{align} \mathsf{[E]}=\frac{\mathsf{[E]}_\mathrm{T}-\mathsf{[ES]}}{\alpha} \end{align} となる。阻害物質がない場合と同様に，酵素-基質複合体の濃度 \mathsf{[ES]} が一定の値（定常状態）になっているとすると，\mathsf{ES} の正味の生成速度は 0 になるので， \begin{align} k_1\mathsf{[E]}\mathsf{[S]}-k_2\mathsf{[ES]}-k_2\mathsf{[ES]} \end{align} だから， \begin{align} \mathsf{[E]}\mathsf{[S]}=\frac{k_2+k_3}{k_1}\mathsf{[ES]}=K_\mathrm{M}\mathsf{[ES]} \qquad \text{ただし，}\frac{k_2+k_3}{k_1}=K_\mathrm{M} \end{align} 式 (19) を式 (21) に代入して，\mathsf{[ES]} について解くと， \begin{align} \mathsf{[ES]}=\frac{\mathsf{[E]}_\mathrm{T}\mathsf{[S]}}{\mathsf{[S]}+\alpha K_\mathrm{M}} \end{align} となる。酵素の全濃度が \mathsf{[E]}_\mathrm{T}，基質の濃度が \mathsf{[S]} のときの生成物生成の初速度 v_0 は，k_2\mathsf{[E]}_\mathrm{T}=V_\mathrm{max} （式 (10) ）を利用すると，次のようになる。 \begin{align} v_0=k_2\mathsf{[ES]}=\frac{k_2\mathsf{[E]}_\mathrm{T}\mathsf{[S]}}{\mathsf{[S]}+\alpha K_\mathrm{M}}=\frac{V_\mathrm{max}\mathsf{[S]}}{\mathsf{[S]}+\alpha K_\mathrm{M}} \end{align} この式は，ミカエリス・メンテンの式（式 (11) ）のミカエリス定数 K_\mathrm{M} に \alpha をかけた形になっている。

この式から，競争的阻害では，最大速度 V_\mathrm{max} は変化せず，ミカエリス定数が\alpha K_\mathrm{M}になることがわかる。また，\alpha=1 のとき，阻害物質がない場合に該当する。

たとえば，\alpha=2 のときを考えると， \begin{align*} & \mathsf{[S]}=K_\mathrm{M}\text{で}&&v_0=\frac{V_\mathrm{max}\times K_\mathrm{M}}{K_\mathrm{M}+2K_\mathrm{M}}=\frac{1}{3}V_\mathrm{max}\\ & \mathsf{[S]}=2K_\mathrm{M}\text{で}&&v_0=\frac{V_\mathrm{max}\times 2K_\mathrm{M}}{2K_\mathrm{M}+2K_\mathrm{M}}=\frac{1}{2}V_\mathrm{max}\\ & \mathsf{[S]}=3K_\mathrm{M}\text{で}&&v_0=\frac{V_\mathrm{max}\times 3K_\mathrm{M}}{3K_\mathrm{M}+2K_\mathrm{M}}=\frac{3}{5}V_\mathrm{max}\\ & \mathsf{[S]}=4K_\mathrm{M}\text{で}&&v_0=\frac{V_\mathrm{max}\times 4K_\mathrm{M}}{4K_\mathrm{M}+2K_\mathrm{M}}=\frac{2}{3}V_\mathrm{max}\\ & \cdots\cdots \end{align*} となる。\alpha=1 （阻害物質がない場合）と \alpha=2，\alpha=4 について，グラフに表すと図3のようになる。

競争的阻害のラインウィーバー・バークのプロット

競争的阻害がある場合のミカエリス・メンテンの式 (23) の両辺を逆数にすると， \begin{align} \frac{1}{v_0}=\frac{\alpha K_\mathrm{M}}{V_\mathrm{max}}\cdot \frac{1}{\mathsf{[S]}}+\frac{1}{V_\mathrm{max}} \end{align} となる。これをグラフに表すと，図4のようにある。

競争的阻害のラインウィーバー・バークのプロットによる直線は，\alpha によって傾きが変化するが，切片は変わらないので V_\mathrm{max} は一定である。

混合した阻害

阻害物質 \mathsf{I} が酵素-基質複合体 \mathsf{ES} に結合して，酵素の働きを阻害する場合を不競争的阻害（あとに説明する非競争的阻害とは異なる）という。この場合，\mathsf{I} は酵素 \mathsf{E} の活性部位以外に結合する。さらに，阻害物質 \mathsf{I} が，酵素単体にも酵素-基質複合体にも結合するような混合した阻害について考える。

この場合，生成物の生成初速度 v_0 は，次のようになる。 \begin{align} v_0=\frac{V_\mathrm{max}\mathsf{[S]}}{\alpha K_\mathrm{M}+\alpha ^\prime \mathsf{[S]}}\qquad \text{ここで，} \alpha =1+\frac{\mathsf{[\,I\,]}}{K_1}\text{，}\alpha ^\prime =1+\frac{\mathsf{[\,I\,]}}{K_2} \end{align}

このような混合した阻害のうち，\alpha = \alpha ^\prime，つまり K_1=K_2 のときを考えると，式 (25) は， \begin{align} v_0=\frac{V_\mathrm{max}\mathsf{[S]}}{\alpha K_\mathrm{M}+\alpha \mathsf{[S]}}=\frac{V_\mathrm{max}/\alpha \mathsf{[S]}}{K_\mathrm{M}+\mathsf{[S]}}=\frac{V_\mathrm{max}^\prime \mathsf{[S]}}{K_\mathrm{M}+\mathsf{[S]}} \end{align} となる。ただし，V_\mathrm{max}^\prime =\dfrac{V_\mathrm{max}}{\alpha} とした。この式から，V_\mathrm{max} は変わるが，K_\mathrm{M} は変わらないことがわかる。このような阻害を非競争的阻害という。これは，先に説明した不競争的阻害とは異なる。

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